Η Πεντάλφα και ο μαγικός αριθμός φ στο Πυθαγόρειο σύστημα

Πεντάλφα και χρυσή τομή

Για τους Πυθαγόρειους, την Πεντάλφα, την Τετρακτύ, τον αριθμό φ και όλα αυτά που γράφονται σε αυτό το άρθρο μπορεί να βρει κανείς άπειρες πληροφορίες στην Βικιπέδια ή σε κάθε κλασική εγκυκλοπαίδεια που μπορεί να ανατρέξει. Δεν θέλω εδώ να επαναλάβω τις πάμπολλες πληροφορίες που προσφέρονται απλόχερα στα παραπάνω μέσα ή που γράφονται σε ένα σωρό βιβλία που έχουν γραφτεί για τους Πυθαγόρειους και τις ανακαλύψεις τους. Θα είναι κουραστικό και άχρηστο. Μπορείτε να τα βρείτε αναλυτικά και εύκολα στο διαδίκτυο.

Σε αυτό το άρθρο θέλω να σημειώσω μόνο κάτι που στους πολλούς είναι άγνωστο, την σχέση της πυθαγόρειας Πεντάλφας και της Χρυσής Τομής. 

Πεντάλφα (ή Πεντάγραμμα) ονομάζουμε το κανονικό πεντάγωνο με τις διαγώνιές του. Πολλοί το θεωρούν σιωνιστικό ή σατανικό σύμβολο. Βλακείες. Το είχε περί πολλού και το χρησιμοποιούσε ο Πυθαγόρας και πριν από αυτόν πολλοί λαοί και σοφοί αυτών των λαών. Ο πρώτος που κατέγραψε τις ιδιότητες του κανονικού πενταγώνου, δηλαδή της πεντάλφας, ήταν ο Ευκλείδης γύρω στο 300 π.Χ., όμως μιλούσαν για όλα αυτά πολύ πριν από αυτόν.

Η Χρυσή Τομή είναι μια γεωμετρική κατασκευή με βάση μιαν ιδιότητα των αναλογιών που δίνει αρμονία στο μάτι που την αντικρίζει. Αυτή η αρμονία είναι βασικό στοιχείο για τον συσχετισμό που κάνουμε. Για τους Πυθαγόρειους οι Αριθμοί (και μαζί τους η Γεωμετρία), ο Ουρανός και η Μουσική έβγαζαν κατά κύριο λόγο Αρμονία. Κι όχι μιαν αρμονία αόρατη και δήθεν μυστική αλλά εμφανή και κατανοητή από τον καθένα. Οι συγχορδίες έδιναν υπέροχη μουσική που ακουγόταν αρμονικά στο αυτί, και οι αναλογίες της Χρυσής Τομής έδιναν κατασκευές που ταίριαζαν αρμονικά στο μάτι του θεατή.

Το φ, η χρυσή τομή

Ο αριθμός φ=1,6180339887... (άρρητος αριθμός) συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα φ κι έχει μερικές θαυμαστές ιδιότητες.

Αλγεβρικά είναι η λύση της εξίσωσης x^2--ax-a²=0 που προκύπτει από την αναλογία (x+a):x=x:a

Γεωμετρικά είναι μια αναλογία τμημάτων. Αν πάρουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ για την χρυσή τομή πρέπει να βρούμε ένα σημείο Μ (πιο κοντά στο Β) τέτοιο ώστε το τμήμα ΑΒ προς το μεγάλο κομμάτι ΑΜ να έχει τον ίδιο λόγο με το μεγάλο κομμάτι ΑΜ προς το μικρό ΜΒ.

Το φ είναι η αναλογία ΑΜ προς ΜΒ ή αλλιώς η λύση της αλγεβρικής εξίσωσης κι έχει υπολογιστεί στο περίπου ίσο με 1,62 ή αλλιώς περίπου 8/5

Λέγεται χρυσή τομή γιατί είναι το σημείο που ταιριάζει καλύτερα στο μάτι όταν βλέπει γεωμετρικές αναλογίες. π.χ. δείτε τα τρία σχήματα πιο κάτω. Το πρώτο είναι μακρόστενο, το τρίτο πολύ τετράγωνο, το μεσαίο έχει μια χάρη, μια αρμονία. Στο μεσαίο η αναλογία μήκους πλάτους είναι η χρυσή τομή, το γράμμα φ (στο πρώτο είναι 1/4 και στο τρίτο 1/1)

Για την Πεντάλφα υπάρχουν άπειρες ιστορίες που την συνδέουν με την μαγεία, με θρησκείες, με φαντασιώσεις κτλ. καθώς επί αιώνες ασκούσε επιρροή σε κάθε ευφάνταστο εγκέφαλο. Εμείς όμως θα σταθούμε σε κάποιες γεωμετρικές ιδιότητες που την κάνουν να είναι θαυμαστή.

Στο σχήμα το κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ έχει πέντε διαγωνίους ΑΔ, ΑΓ, ΒΔ, ΒΕ, ΓΕ που τέμνονται στα σημεία Ζ, Η, Θ, Ι, Κ που σχηματίζουν πάλι κανονικό πεντάγωνο. Κάθε διαγώνιος χωρίζεται σε τρία τμήματα, κάθε μία έχει ένα μεγάλο κι ένα μικρό τμήμα. Μεγάλα είναι τα ΑΙ, ΚΔ, ΑΗ, ΖΓ, ΕΖ, ΖΒ κτλ. Μικρά είναι τα ΑΚ, ΙΔ, ΖΒ, ΕΚ, ΓΗ κτλ. Για όλα αυτά τα τμήματα ισχύει ότι:

Διαγώνιος/Μεγάλο=Μεγάλο/Μικρό= φ, δηλαδή η χρυσή τομ, η αναλογία φ ή 1/φ

Κρατώντας ο χτίστης την πεντάλφα (που είχε κι ένα νήμα δεμένο στην κορυφή της) έχει αμέσως τις αναλογίες που χρειάζεται για μια αρμονική κατασκευή.

Από αυτά τα εργαλεία των αρχαίων έχουμε σήμερα και το Αλφάδι που είναι μια πιο απλή πεντάλφα καθώς έχει μόνο ένα Α και ένα νήμα που δείχνει την κατακόρυφο. 

Ο Πυθαγόρας κι η πεντάλφα

Η Πεντάλφα (ή πενταγράμμο) κι η Τετρακτύς εμπεριέχονται, ως βασικά συστατικά στοιχεία, στη διδασκαλία του Έλληνα φιλόσοφου Πυθαγόρα του Σάμιου (περίπου 580-500 π.Χ). Η σχολή του βρέθηκε σε μεγάλη ακμή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας. Οι θεωρίες της σχολής αυτής αναδείχθηκαν στους κλασικούς αιώνες και συνέχισαν να ασκούν γοητεία στους Ελληνιστικούς και Ρωμαϊκούς χρόνους. Όταν ξεθάφτηκαν κατά την αναγέννηση, εντυπωσίασαν ξανά όλον τον κόσμο.

Ο Πυθαγόρας (κι οι Πυθαγόρειοι μετά από αυτόν) περιέγραψαν την φύση σαν ένα σύνολο με λογική και συνοχή. Ανακάλυψαν την σφαιρικότητα της Γης, ανάπτυξαν την θεωρία των αριθμών, μελέτησαν τα κανονικά πολύεδρα και τις αναλογίες στα Μαθηματικά και συνέδεσαν με τέχνη τα Μαθηματικά με την Μουσική και την Αστρονομία (τις κινήσεις των Ουρανίων σωμάτων).

Η τετρακτύς (με το χαρακτηριστικό τέσσερα) και η πεντάλφα (με το χαρακτηριστικό πέντε) ήταν δυο από τις μεγαλύτερες εμμονές των Πυθαγορείων που έβρισκαν στους αριθμούς όχι μόνο φανταστικές ιδιότητες αλλά και μουσική. Η τετρακτύς κι η πεντάλφα οδηγούν στον τέλειο αριθμό, το 10. Πραγματικά, για την τετρακτύ βλέπουμε ότι οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί δίνουν 1+2+3+4=10 ενώ για στην πεντάλφα οι διαγώνιες σχηματίζουν στο εσωτερικό του πενταγώνου 10 γωνίες, δηλαδή και πάλι τον τέλειο αριθμό. Για τους Πυθαγόρειους ολόκληρο το σύμπαν είναι αρμονία και αριθμοί. Η κεντρική πυθαγόρεια ιδέα είναι πως η μουσική, τα μαθηματικά και τα ουράνια σώματα έχουν αναλογίες και σχετίζονται μεταξύ τους. Η μουσική των σφαιρών εξηγείται και επιτυγχάνεται με μαθηματικές σχέσεις. Αυτό είπαν κι απέδειξαν με πολλούς τρόπους οι Πυθαγόρειοι και ποτέ δεν άφησαν ασυγκίνητο κανέναν από όσους τους άκουσαν.

Ένα μικρό κομμάτι αυτής της μουσικής ελπίζω να ακούστηκε όσο θα διαβάζατε αυτό το άρθρο.